Anwendung der Infinitesimalrechnung(besonders geeignet für Kernfach Physik Kurshalbjahr Mechanik- Anforderung auf Leistungskursniveau) |
Die
nachfolgenden Darstellungen dienen zur Wiederholung und
Vertiefung der Unterrichtsinhalte im Hinblick auf eine
Prüfungsvorbereitung, insbesondere bei einer Prüfung auf
Leistungskursniveau, da die Anwendung der Infinitesimalrechnung zur
Lösung
einer physikalischen Problemstellung ein Aspekt in der Aufgabenstruktur
der
Abiturprüfung sein kann. Gleichzeitig sollen beim Nutzer der
Verständnisgrad
für die Bedeutung der Infinitesimalrechnung in Naturwissenschaft und
Technik erhöht werden. Sie ist nicht ein weiterer "scheinbar sinnloser"
mathematischer Formalismus, sondern Bestandteil einer vertiefenden
Allgemeinbildung in der gymnasialen Oberstufe.
Die
Physik bietet eine hervorragende Anwendung der
Infinitesimalrechnung. In ihr hat sie auch einen ihrer historischen
Ursprünge
durch NEWTON, obwohl
die heute verwendete Symbolik größtenteils auf
LEIBNIZ
zurückzuführen ist.
In den
Darstellungen wird einer anschaulichen
Interpretation der Sachverhalte Vorrang vor einer strengen
mathematischen
Beschreibung der Formalismen eingeräumt. Dies soll dem allgemein
bildenden
Anspruch der Ausführungen dienen.
(David
Penke, Februar 2006)
P.S.
Obwohl die Darstellungen
mit großer Sorgfalt erstellt wurden, können sich dennoch Fehler
eingeschlichen
haben. Deshalb ist der Autor für jede seriöse Kritik dankbar.
Klassische
(starke) Kausalität
Das physikalische Geschehen ist determiniert, d.h. die gleichen (oder ähnliche) Ursachen haben die gleichen (oder ähnliche) Wirkungen. Dadurch wird das physikalische Geschehen prinzipiell voraussagbar und durch geeignete Wahl der Ursachen kann eine bestimmte Wirkung hervorrufen werden.
Unter Kenntnis der Resultierenden aller wirkenden
Kräfte und der Anfangsgeschwindigkeit und des Anfangsweges lässt sich
die
Bewegung eines Objektes voraussagen.
Der Schritt 4 dieser
Strategie wird mithilfe der Infinitesimalrechnung vollzogen.
Bestimmung von
Bewegungsgesetzen durch Integration
Die Beschleunigung ist nach Definition die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit, sie entspricht dem Anstieg der Tangenten in einem Punkt des v-t-Diagramms.
Verwendet man die
Differentialschreibweise, so kann man die Differentiale dv und dt
als Seiten eines infinitesimalen Anstiegsdreiecks interpretieren und
der
Differentialquotient lässt sich folgendermaßen umformen.
Die rechte
Gleichung ist dann eine
einfache Form
einer so genannten Differentialgleichung.
Die Lösung solcher Differentialgleichungen sind Funktionen.
Die Lösung der Differentialgleichung
erfolgt durch
Integration beider Seiten.
(2)
Nach den
bekannten Integrationsregeln
erhält man für
die linke Seite v, welche wegen der Gleichheit von t abhängig ist. (Die
Integrationskonstante wird aus bekannten Gründen nur auf einer Seite
der Gleichung berücksichtigt.)
(3)
Diese Gleichung kann als allgemeine Lösung der Differentialgleichung angesehen werden, d.h. unter Kenntnis des Beschleunigungs-Zeit-Gesetzes lässt sich das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz bestimmen.
Bei beliebigen gleichmäßig beschleunigten Bewegungen folgt dann aus analogen Überlegungen:
(4)
Nach der eben beschriebenen Methode lässt sich jetzt aus dem
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz das Weg-Zeit-Gesetz einer Bewegung bestimmen.
Aus den Gleichungen (1), (2) und (3)
werden:
(5)
(6)
(8)
Geometrische
Interpretation der Gleichungen
Eine grafische Interpretation der Differentialgleichung liefert ein infinitesimales Rechteck mit den Seitenlängen a und dt und dem Flächeninhalt dv, welcher die infinitesimale Änderung der Geschwindigkeit beschreibt.
Die Integration der Differentialgleichung ist nichts anderes als eine Summierung von unendlich vielen dieser Rechtecke, d.h. innerhalb eines Zeitintervalls ist das bestimmte Integral nicht anderes als der Flächeninhalt, also die Geschwindigkeitsänderung in diesem Zeitintervall.
(9)
Analog zu Gleichung 9 gilt für das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, dass der Flächeninhalt unter der Kurve dem zurückgelegten Weg während des Zeitintervalls entspricht.
(10)
Beispiel 3
Beispiel 4
Das
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz einer
ungleichmäßig
beschleunigten Translation hat folgende Form.
Dann folgt für
das
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz und
für das Weg-Zeit-Gesetz:
Aus der jeweils
letzten Zeile ist zu
erkennen, dass
für k = 0 die Gesetze der gleichmäßig beschleunigten Translation und
für
k = 0
und a0 = 0 die Gesetze der gleichförmigen Translation
entstehen.
Weiterführende Aufabenstellungen
(eine
Auswertung
erfolgt im Rahmen der Abiturvorbereitung)
Zum Beispiel 4 sind für folgende Parameter das a-t-Diagramm, das v-t-Diagramm und das s-t-Diagramm maßstäblich für die ersten 10 Sekunden zu zeichnen.
Beispiel 5
Von einem
Bremsvorgang sind das
F-t-Diagramm und die
Parameter m = 10 kg,
v0 = 8 ms-1 und s0 = 0 bekannt.
Man bestimme für die einzelnen Phasen des Vorgangs die Gleichungen für das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz.
Man leite aus diesen Gleichungen das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz und das Weg-Zeit-Gesetz her!
Man berechne
die Geschwindigkeit und den
Zurückgelegten Weg für t = 4s und t = 8s!
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